Бесплатный фрагмент - Производная, нейросети и Excel

1.Основные понятия и определения

В прямоугольной (декартовой) системе координат зададим функцию y = f (x) и будем рассматривать Х и У как чисто математические величины, не приписывая им никакого физического содержания. Пусть х — произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки Х0.

1. Дадим аргументу Х0 приращение ∆x (см. рис.1): тогда x = Х0 + ∆x.

2. И функция y получит приращение ∆ у и новое значение

у + ∆ у = f (x0 + ∆x).

3. Найдем приращение аргумента и приращение функции:

∆x = x — Х0 и ∆ у = f (x0+∆x) — f (x0).

4. Составим отношение приращения функции к приращению аргумента (выражение 1):

5. Перейдем к пределу выражения 1:

6. Если существует предел отношения 2 при ∆x стремящемся к нулю, то

его называют производной данной функции y = f (x) и обозначают:

y’, dy/dx, f’ (x).

Таким образом,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆x, когда ∆x произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен, говорят, что существует бесконечная производная.

Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x0, то говорят, что она дифференцируема в точке x0.

Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.

Геометрический и физический смыслы производной.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 (см. рис.2) равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α), проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0

,где k — угловой коэффициент касательной, или

Физический смысл производной состоит в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость тела при его движении:

Примеры:

Движение автомобиля, поезда, человека и т. д.

Но можно говорить и о других смыслах: например, экономическом:

Скорость падения акций на рынке ценных бумаг, изменение курса валют, падение покупательского спроса на определенные виды товаров, изменение инфляции, зарплаты и т. д.

2.Правила дифференцирования

Правило 1

Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их сумма также дифференцируема в точке x0, причем производная суммы равна сумме производных.

Правило 2

Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение также дифференцируемо в точке x0.

Правило 3

Если функции u и n дифференцируемы в точке х0 и n (х0) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0.

Правило 4

Если f (g (х)) — сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций.

Правило 5

Если функция u дифференцируема в точке x0 и с = const, то их произведение также дифференцируемо в точке x0, при чем (сu)» = сu’.

Опираясь на математическое определение производной, а также на ее физический и геометрический смысл, можно найти производные всех основных элементарных функций.

Пример 1. Пусть y=f (x) =C (С — произвольная константа). Найдем производную y′ этой функции. То есть найдем производную C′ константы С.

Решение

Способ 1 — геометрический.

Графиком функции y = C является горизонтальная прямая. Касательной к этой прямой, проведенной в любой ее точке, будет она сама. Ее угол наклона α к оси ОХ равен нулю. Но tg0 = 0.

Значит, y′ = C′ = 0.

Способ 2 — физический.

Функция y = C от x не зависит, то есть с изменением x не меняется. А значит, скорость v (x) ее изменения равна нулю. Но ведь скорость изменения функции — это производная функции. Таким образом, если y = C, то y′ = C′ = 0. Физический смысл этого вывода очевиден: если координата y движущейся точки неизменна, то точка стоит. А значит, скорость ее движения равна нулю.

Способ 3 — математический.

Воспользуемся математическим определением производной функции: