Бесплатный фрагмент - Невероятная теория вероятностей

Предисловие

Большинство из нас практически не читают предисловие к книгам. И совершенно напрасно.

Во-первых, предисловие служит как бы пояснением того, о чем идет речь в самой книге.

Во-вторых, в предисловии можно указать кое-какие факты, которые выбиваются из общего контекста книги.

В-третьих, … А впрочем, дальше можно и не продолжать. Как бы то ни было, предисловие должно быть кратким. И я буду придерживаться этого правила.

К тому же в данном предисловии мне хочется ответить всего на два вопроса. Первый вопрос: кому вообще нужна эта теория вероятностей? Второй — зачем, собственно, я написал эту книгу?

Начну по порядку. Вопрос первый: кому вообще нужна эта теория вероятностей? Подобные вопросы мне приходится слышать довольно часто. Зачем нам сдалась эта математика? А Вам в жизни пригодилась теорема Пифагора? А синусы и косинусы Вам позволяют больше зарабатывать? И так далее и тому подобное. Конечно, можно вступить в дискуссию, попытаться доказать необходимость знания теоремы Пифагора или законов теории вероятностей, привести примеры из жизни или научные доводы и потратить на это драгоценное время и, увы, не стальные нервы. Обычно на такие вопросы я отвечаю так: если тебе не нужен камень, валяющийся у дороги, это не значит, что он никому не нужен. Но догадываться о назначении камня ты все-таки должен. Аргумент, конечно, сомнительный, но срабатывает.

Но если подойти к этому вопросу более серьезно, то теория вероятностей, хотим мы этого или нет, является постоянным спутником нашей жизни. Самый простой пример — многие люди склонны думать, что шансов погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Но если изучить статистические данные, на самом деле окажется, что это не так. Вероятность погибнуть в авиакатастрофе составляет 1/8000000. Для того чтобы погибнуть, ежедневно садясь на случайный рейс, пассажиру понадобится 21 тысяча лет.

Другой пример — от падения кокосов погибает около 150 человек. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Следовательно, вероятность быть укушенным акулой в десятки раз меньше, чем получить кокосом по голове. И таких примеров можно приводить бесконечно.

Как бы там ни было, практически вся современная экономика базируется на теории вероятностей. Выпуская новый товар, грамотный бизнесмен должен учесть вероятность продажи продукции на рынке. Также теория вероятностей широко используется в биологии, химии, истории и других областях деятельности человека.

Что касается второго вопроса: зачем, собственно, я написал эту книгу, то здесь все гораздо проще. Как ни странно, мы постоянно пытаемся все усложнить, особенно если это касается науки. Даже имея высшее образование, я иногда не понимаю, почему ту или иную теорию нужно излагать довольно скучным научным языком, если это можно объяснить проще и понятнее. Но упрощение научных выкладок никоим образом не должно противоречить принципу научности. Ведь даже за простейшими вычислениями стоят проверенные временем и практикой правила и законы. Просто их можно изложить немножко иначе, без лишних выкладок, гипотез и доказательств.

Немного о случайных событиях

Ученику седьмого класса Владимиру Савельеву совершенно не хотелось идти к репетитору по математике. С большим удовольствием он бы погонял мяч с ребятами во дворе. Но с футболом у Владимира Савельева все было в порядке, в отличие от математики, по которой он периодически получал двойки.

Спорить с мамой было бесполезно и, скрепя сердце, Вовка отправился на занятия. Погода была великолепная, а настроение противное.

— И почему этот репетитор живет в соседнем доме? — возмущался Вовка. — Вот бы было замечательно, если бы он жил на другом конце города. Тогда можно было бы как бы случайно опоздать на занятия. Вроде и пришел, а уже домой пора.

Так, рассуждая, Вовка не заметил, как очутился посреди лужи.

— И откуда она тут взялась? — недоумевал Вовка. — Дождя не было почти неделю.

Первое, что пришло Вовке в голову — это развернуться и пойти домой, тем более что для этого у него уже была уважительная причина. Но предчувствуя нерадостный разговор с мамой, Вовка вылез из лужи и нехотя направился к соседнему дому.

Также нехотя он поднялся на второй этаж и также без особого энтузиазма нажал кнопку звонка. За дверью что-то жалобно заурчало.

— Хоть бы профессора не было дома, — тешил себя последней надеждой Вовка.

Но дверь открылась, и Вовкина надежда испарилась, так утренний туман.

На пороге стоял профессор. Хотя какой он был профессор? Обычный учитель математики. Иван Петрович. Профессором его прозвал Вовка. Вовка вообще называл профессорами всех, кто был умнее его.

— Здрасьте, — грустно пробормотал Вовка, убирая палец со звонка.

— Добрый день, молодой человек, — ответил Иван Петрович, внимательно осматривая посетителя. — Проходите.

Вовка сделал шаг вперед.

— Разуваться не обязательно, хотя… — Иван Петрович бросил взгляд на Вовкины мокрые кроссовки. — Хотя, вам не мешало бы переобуться во что-нибудь сухое.

Профессор достал из шкафа тапочки и протянул их Вовке.

— И где только ты умудрился промочить ноги?

— Да так, — отмахнулся Вовка. — Так получилось.

— Ну-с, молодой человек, переобувайтесь и проходите в комнату.

Вовка неохотно последовал за Иваном Петровичем. Вошел в комнату и замер. Все стены от пола до потолка были заняты полками с книгами.

— Ничего себе! — удивленно пробормотал Вовка. — Неужели Вы все это прочитали?

— Почти, — улыбнулся Иван Петрович. — Присаживайся.

И Иван Петрович пододвинул Вовке стул. Вовка послушно сел.

— Ну-с, с чего начнем? — Иван Петрович сел напротив Вовки.

Вовка нерешительно пожал плечами.

— Я так понимаю, что у вас возникли проблемы с математикой? — предположил Иван Петрович.

— Как вы догадались? — удивился Вовка.

— Иначе бы ты ко мне не пришел, — Иван Петрович снова улыбнулся.

— Проблемы! — согласился Вовка. — Да еще какие!

— А еще, — добавил профессор, — у тебя вдобавок проблемы с вниманием.

— В каком смысле? — не понял Вовка.

— Промочить ноги в такую сушь! И где ты только умудрился отыскать лужу? Невероятно, но факт!

— Факт, — подтвердил Вовка.

— Но я немного отвлекся, — Иван Петрович достал из ящика стола стопку бумаги. — Перейдем непосредственно к делу, то есть к математике. Ну, так что вы теперь проходите?

— А так, — махнул рукой Вовка. — Какую-то теорию вероятности.

— Просто замечательно! И что ты можешь мне о ней рассказать?

— Ну, — Вовка напряг мозг, пытаясь вспомнить, о чем говорили в школе, — теория вероятности изучает… Изучает… Вероятность…

— Не совсем точно, — покачал головой Иван Петрович. — Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений или событий, их свойства и действия над ними. Основными объектами теории вероятностей являются случайные величины или случайные события. В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными явлениями. К примеру, то, что ты сегодня попал в лужу — это случайность. Но, если допустить то, что ты по пути сюда считал ворон и просто не заметил лужи, то эту случайность можно считать закономерностью. Все события можно условно разделить на достоверные и невозможные. Если при испытании событие произошло, то такое событие можно считать достоверным. А если при испытании событие произойти не может, то оно считается невозможным. Я понятно объясняю?

— Вроде да, — согласился Вовка.

— А если, — продолжил Иван Петрович, — событие не является достоверным или невозможным, то оно называется случайным. Следует отметить, что теория вероятностей изучает не всякие события, а только те, которые рассматриваются в рамках исследования. Самый простой пример — подбрасывание монеты. Здесь рассматриваются два варианта — монета упадет орлом вверх или монета упадет вверх решкой…

— Но ведь монета может упасть и на ребро, — возразил Вовка, — или закатиться под стол…

— Вполне допустимо, — согласился Иван Петрович, — но в данном эксперименте мы эти случаи не рассматриваем. Понятно?

— Не очень, — покачал головой Вовка.

— Хорошо! — Иван Петрович тяжело вздохнул. — Попробуем иначе. Какой сегодня день недели?

— Вторник.

— Следовательно, то, что сегодня вторник — достоверное событие. Согласен?

— Согласен.

— А то, что завтра будет четверг…

— Невозможное событие, — предположил Вовка.

— Совершенно верно. Но если предположить, что по каким-то причинам сегодня отменят среду, то завтра наступит четверг и это событие будет…

— Случайным! — радостно воскликнул Вовка.

— Вы абсолютно правы, молодой человек. Рассмотрим другой случай. Ты любишь играть в футбол?

— А как же!

— Когда ты забиваешь гол — это какое событие? Достоверное, невозможное или случайное?

— Если гол уже забит, то это, скорее всего достоверное событие, — рискнул предположить Вовка.

— А если перед воротами стоит кирпичная стена, сможешь ли ты забить гол?

— Пробить мячом стену! — воскликнул Вовка. — Это ж сколько нужно силы! Нет, такое невозможно! Если только мяч случайно не перелетит стену или кто-нибудь не поможет…

— Но мы рассматриваем только голы, забитые тобою лично.

— Тогда это невозможно!

— Но элемент случайности все-таки не исключается, — улыбнулся Иван Петрович. — Ну, я думаю на сегодня достаточно. Продолжим в следующий раз. Надеюсь, что в следующий раз ты будешь более внимательным и обойдешь злополучную лужу.

— Я тоже надеюсь, — грустно вздохнул Вовка.

Попрощавшись с профессором, Владимир Савельев отправился домой. Разумеется, он не все понял из объяснений Ивана Петровича, но Вовка утешал себя, что это всего лишь первый раз. В дальнейшем, возможно, будет более понятно. И что более всего радовало семиклассника Владимира Савельева, что профессор не оказался обычным занудой, не мучил Вовку кучей задач и зубрежкой никому не понятных определений и формул.

Вероятность событий

Следующее занятие Иван Петрович начал с вопроса:

— Надеюсь, сегодня обошлось без лужи?

— Без лужи, — подтвердил Вовка.

— Прекрасно! Тогда давай вспомним, о чем шла речь в прошлый раз.

— О событиях, — ответил Вовка, — достоверных, невозможных и случайных.

— Хорошо, — Ван Петрович удовлетворенно потер ладони. — А вот тебе задачка для разминки: ты стреляешь из лука по мишени. Какие события здесь можно рассматривать как достоверные, невозможные или случайные?

— Ну… — Вовка задумался. — Если я попадаю в мишень, то это будет достоверным событием. Так?

— Да.

— Если моя стрела угодит в солнце, то это невозможное событие. Так?

— Хороший пример, — согласился Иван Петрович.

— А если я вместо мишени попаду себе в ногу, то это, наверное, случайное событие или я ошибаюсь?

— Если бы ты просто стрелял из лука, — пояснил Иван Петрович, — то это было бы достоверным событием и к тому же очень неприятным. Но мы рассматриваем стрельбу по мишени, поэтому попадание в ногу — это событие случайное, хотя маловероятное.

— Что значит маловероятное? — не понял Вовка.

— Кроме событий, одним из главных понятий теории вероятности является вероятность. Не сомневаюсь, что ты часто слышал это слово. Вероятно, завтра пойдет дождь или это просто невероятно! В математике вероятность дает числовую оценку вероятности того, что произойдет какое-то событие. Вероятность достоверного события оценивается как единица, вероятность невозможного события равна нулю. Хотя не исключено, что и в том и ином случае событие может быть случайным.

— И чему тогда равна его вероятность?

— Вероятность события зависит от числа благоприятных исходов испытания и общего числа испытаний. Вероятность обозначают Р (А), где А — исследуемое событие. В теории вероятностей события принято обозначать латинскими буквами. Так вот вероятность этого события Р (А) =n/m, где n — число благоприятных испытаний или исходов, а m — общее число испытаний. Эта формула называется классическим определением вероятности. Число благоприятных исходов не может быть больше, чем общее число испытаний, а это значит, что вероятность любого случайного события удовлетворяет неравенству 0 <P (A) <1.

Вовка нахмурился.

— Поясню на примере, — от Ивана Петровича не ускользнуло Вовкино недовольство формулами. — Допустим в урне находится 3 черных и 7 белых шаров. Ты наугад вынимаешь из урны один шар. Какова будет вероятность того, что этот шар черный?

— Пятьдесят на пятьдесят, — не задумываясь ответил Вовка.

— И тут вы, молодой человек, ошибаетесь!

— Как ошибаюсь? — возмутился Вовка. — Если я наугад вынимаю один шар, то он может быть либо белым, либо черным. То есть, пятьдесят на пятьдесят…

— Да, если в урне всего два шара — белый и черный, — согласился Иван Петрович. — Но в урне 10 шаров. И только три из них черных. Следовательно, вероятность того, что вынутый шар черный равна 3:10=0,3.

— Вот оно как! — задумчиво протянул Вовка. — Оказывается, тут не все так просто…

— Не все. И вот тебе еще одна задачка: в коробке лежат 20 шаров: 10 красных, 2 желтых и 8 синих. Наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар желтый?

— Ну, это легко! — заулыбался Вовка. — Всего в коробке 20 шаров. Из них желтых всего два. Значит, вероятность вытянуть желтый шар равна 2:20=0,1.

— Ты совершенно прав! — похвалил Вовку Иван Петрович.

— Давайте что-нибудь посложнее, — попросил Вовка.

— Хорошо. Вот задачка посложнее. На экзамен вынесено 60 вопросов, Петя не выучил 12 из них. Найти вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

— Это проще простого! — воскликнул Вовка. — 12:60=0,2.

Иван Петрович улыбнулся.

— Нужно быть внимательным. Нужно найти вероятность того, что Пете попадется выученный вопрос, а ты нашел вероятность невыученных.

— Тогда, — Вовка поспешил исправиться. — Петя выучил 60—12=48 вопросов. Отсюда вероятность равна 48:60=0,2.

— Теперь правильно.

— Но ведь ответ получился тот же! — возмутился Вовка.

— Но решение было неверным, — возразил Иван Петрович. Вовка спорить не стал.

— Еще задачку? — предложил Иван Петрович.

— Давайте, — нехотя согласился Вовка.

— На карточках записаны числа от 1 до десяти. Найти вероятность того, что на взятой наугад карточке написано четное число.

— Так, — Вовка попытался сосредоточиться, чтобы еще раз не допустить ошибки. — Карточек всего десять. С четными числами всего 5 карточек. Это 2, 4, 6, 8 и 10. Значит, вероятность вытащить карточку с четным числом равна 5:10=0,5. Правильно?

— Правильно. Ну, еще задачку?

— Ну, если только одну, — Вовка взглянул на часы. — Мне еще уроки на завтра учить. Только давайте задачку посложнее.

— Хорошо. За круглым столом в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найти вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

— И это сложная задачка? — удивился Вовка. — Девочек всего две. Стульев 17. Отсюда вероятность того, что девочки будут сидеть рядом равна 2 разделить на 17… Стоп! Два на 17 не делится! И в чем подвох?

Вовка задумался.

— Девочек две. Стульев 17. Стол круглый… Я, кажется, понял! Девочка ведь не может сидеть рядом сама с собой! Значит, свободных стульев остается 16. 2 разделить на 16 получится 0,125. Я правильно решил?

— Несомненно, — подтвердил Иван Петрович. — Ты просто молодец. И главная твоя заслуга не в том, что ты правильно решил задачку, а в том, что ты самостоятельно исправил свою ошибку.

— Жаль, что мне уже пора домой, — огорченно вздохнул Вовка. — А так бы мы еще позанимались…

— Я это предусмотрел. Вот тебе задачки. Решишь дома на досуге. А в следующий раз мы их проверим.

И Иван Петрович протянул Вовке листок бумаги.

— Кстати, — проговорил Иван Петрович, провожая Вовку до двери, — если ты подбросишь монету миллион раз, то 150 раз на упадет на ребро. А вероятность угадать в лотерее 6 номеров из 45 равна 1/8145060.

Вовка попрощался с профессором и отправился домой. Придя домой, она развернул листок.

— Уважаемый ученик седьмого класса Владимир Савельев, предлагаю вам потренировать свой мозг и найти ответы на следующие задания. На всякий случай на обратной стороне даются ответы. Желаю удачи!

Задача 1. В копилке лежит 3 рублёвых, 6 двухрублёвых, 2 пятирублёвых и 4 десятирублёвых монеты. Вася наугад достаёт из копилки одну монету. Найти вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 60 рублей.

Задача 2. За четыре дня на заводе запланировано собрать 60 телевизоров. В первые два дня запланировано выпустить по 14 телевизоров. Остальные запланировано собрать поровну в третий и четвертый день. Какова вероятность того, что в последний день один из телевизоров окажется неисправным?

Задача 3. Монету подбрасывают трижды. Найти вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Задача 4. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Ответы: задача 1. 0,2; задача 2. 0,3; задача 3. 0,125; задача 4. 0,14

История про историю

— Сегодня никаких задач! — категорично заявил Иван Петрович.

— А чем же мы будем заниматься? — удивился Вовка.

— Историей!

— Историей? — недоуменно переспросил Вовка.

— Историей! Историей теории вероятностей. И не стоит хмуриться. Ведь для того, чтобы понять азы теории вероятностей, необходимо иметь представление о том, для чего вообще она была придумана.

Вовка смирился:

— История, так история.