Бесплатный фрагмент - Математическая стодневка

Предисловие

Сначала была новогодняя декада: перед наступлением 2019 года заключительные десять дней мы в нашей группе ВКонтакте «Математические лайфхаки» публиковали задачи новогодней тематики.

Потом мы замахнулись на предновогоднюю стодневку: с 23 сентября по 31 декабря 2020 года каждый день мы предлагали по одной задаче (всего получилось сто). Содержание уже не всегда было праздничным (это было трудновато соблюсти), но нам пришла идея соединить математические свойства чисел и нумерацию года. По результатам этих двух челленджей мы и создали эту книгу.

Несколько договорённостей.

Весь разговор ведётся только в рамках десятичной системы счисления!

Число, которое является порядковым номером наступающего года, будем называть «числом года». Этот термин не имеет ничего общего с нумерологическими понятиями. Просто это самое оптимальное (короткое, понятное и — главное! — корректное) название из всех возможных.

В некоторых случаях возникает необходимость в обозначении числа года (в нашем понимании), пусть это будет «N».

Число N — четырёхзначное (в ближайшие без малого восемь тысяч лет) и натуральное, что очевидно и понятно.

Задачи мы будем формулировать максимально обобщённо для того, чтобы каждую задачу можно было использовать в любой текущий год. В конце книги есть раздел «Комментарии», в котором почти для каждой задачи приведены некоторые рассуждения, помогающие найти решение и ответ. В тексте некоторых задач есть пояснения, в других же такие пояснения отсутствуют. Но всю необходимую информацию можно найти в разделе «Комментарии» (в крайнем случае, в интернете).

Содержание книги можно применять во внеклассной работе по математике (выборочно или всё, по обстоятельствам).

Задачи можно ежедневно предлагать учащимся (в любом подходящем формате), скажем, в рубрике «Задача дня» (познавательные посты в соцсетях, публикации на тематических стендах и прочее и прочее…).

В формулировках задач преимущественно встречается два оборота «число предстоящего года» и «число наступающего года», но ничто не мешает при необходимости заменить их на «число текущего года».

Сентябрь, 2021

ЗАДАЧА 1

(23 сентября)

Если предновогодняя стодневка начинается в понедельник, то в какой день недели наступит новый год?

На календарь не смотреть!

Задача, безусловно, имеет ещё шесть вариаций: вместо понедельника можно взять любой день недели.

ЗАДАЧА 2

(24 сентября)

Некоторые виды натуральных чисел можно определить просто по их «внешнему виду».

Является ли число предстоящего года палиндромом?

ЗАДАЧА 3

(25 сентября)

Является ли число предстоящего года репдигитом?

Это тоже можно определить непосредственно по записи числа.

ЗАДАЧА 4

(26 сентября)

Число года натуральное. Но натуральные числа бывают разными. Какова чётность числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 5

(27 сентября)

1. Если число предстоящего года нечётное, то является оно простым или составным?

2. Если число предстоящего года чётное, то оно очевидно составное. Однако, если число равно произведению двух простых чисел, то оно называется полупростым. Является ли число предстоящего года полупростым?

Кстати, нечётное число также может быть полупростым, так ли это для числа предстоящего года?

ЗАДАЧА 6

(28 сентября)

Простое число, не являющееся палиндромом, называет бипростым, если при записи его цифр в обратном порядке также получается простое число.

Является ли число предстоящего года бипростым?

ЗАДАЧА 7

(29 сентября)

Несколько предыдущих задач было связано со свойствами делимости. Найдите все возможные делители числа предстоящего года. Сколько их?

ЗАДАЧА 8

(30 сентября)

Число называется продолговатым, если оно представимо в виде произведения двух натуральных множителей, больших единицы. Геометрическая интерпретация: площадь прямоугольника со сторонами, целочисленные длины которых больше 1.

Будет ли число предстоящего года продолговатым?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли постое число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть простым?

3. Всегда ли составное число будет продолговатым?

4. Всегда ли продолговатое число будет составным?

ЗАДАЧА 9

(1 октября)

Число называется прямоугольным, если оно представимо в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Будет ли число предстоящего года прямоугольным?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли прямоугольное число продолговатым?

2. Может ли продолговатое число быть прямоугольным?

3. Любое ли составное число будет прямоугольным?

4. Всегда ли прямоугольное число будет составным?

ЗАДАЧА 10

(2 октября)

Продолжаем геометрическую тему: фигурные многоугольные числа. Если некоторое количество точек можно расставить в виде правильного треугольника, то число, соответствующее этому количеству, называется треугольным.

Является ли число предстоящего года треугольным?

ЗАДАЧА 11

(3 октября)

Если некоторое количество точек можно расставить в виде квадрата, то число, соответствующее этому количеству, называется квадратным.

Является ли число предстоящего года квадратным?

Дополнительные вопросы

Будет ли число предстоящего года

— пятиугольным,

— шестиугольным,

— любым другим фигурным многоугольным числом?

ЗАДАЧА 12

(4 октября)

Является ли число предстоящего года значением факториала какого-либо натурального числа?

ЗАДАЧА 13

(5 октября)

Натуральное число, для которого не существует натурального квадратного корня, иногда называют глухим.

Является ли число предстоящего года глухим?

Дополнительные вопросы

1. Будет ли глухое число квадратным?

2. Если число является квадратным, то может ли оно быть глухим?

3. Какой традиционный термин используют для названия чисел, не являющихся глухими?

ЗАДАЧА 14

(6 октября)

Является ли число предстоящего года совершенным?

ЗАДАЧА 15

(7 октября)

Натуральное число называется почти совершенным, если оно на 1 меньше суммы всех своих собственных делителей.

Например, все степени числа 2 являются почти совершенными числами: 4 — 1 = 1 +2; 16 — 1 = 1 +2 +4 +8 и т. д.

Будет ли число предстоящего года почти совершенным?

ЗАДАЧА 16

(8 октября)

Натуральное число называется кратно совершенным (или   мультисовершенным), если сумма всех его делителей кратна ему самому.

Будет ли число предстоящего года кратно совершенным?

ЗАДАЧА 17

(9 октября)

Натуральное число называется неприкасаемым, если оно не равно сумме собственных делителей ни одного другого натурального числа.

Является ли число предстоящего года неприкасаемым?

ЗАДАЧА 18

(10 октября)

Число, которое кратно сумме своих цифр, называется числом харшад (в переводе с санcкрита «великая радость»).

Будет ли число предстоящего года числом харшад?

ЗАДАЧА 19

(11 октября)

Существует ли натуральное число, сумма цифр которого равна номеру предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

ЗАДАЧА 20

(12 октября)

Есть ли натуральные числа, имеющие количество делителей равное числу предстоящего года?

ЗАДАЧА 21

(13 октября)

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого числу предстоящего года?

Если существует, то будет ли оно единственным?

Если таких чисел несколько, то найдите среди них наименьшее.

Будет ли множество таких чисел бесконечным?

Если множество таких чисел конечно, то найдите наибольшее.

ЗАДАЧА 22

(14 октября)

Будет ли число предстоящего года радостным?

Алгоритм, позволяющий установить, является натуральное число радостным или нет, вы найдёте на странице 35.

ЗАДАЧА 23

(15 октября)

Амбициозным называют натуральное число, если в результате определённых действий получается совершенное число.

Действия такие:

— складываются все собственные делители числа;

— затем складываются собственные делители полученной суммы.

Процесс повторяется до тех пор, пока не получится совершенное число или станет понятным, что этого не произойдёт.

Будет ли число предстоящего года амбициозным?

ЗАДАЧА 24

(16 октября)

Число, меньшее суммы своих собственных делителей, называется избыточным.

Будет ли число предстоящего года числом избыточным?

Дополнительные вопросы

1. Может ли избыточное число быть простым?

2. Будут ли простые числа избыточными?